//ofgogoatan.com/afu.php?zoneid=3234851 دورة حساب وحصر الكميات للمبتدأين الدرس الخامس - حساب المساحات للأشكال الهندسية

دورة حساب وحصر الكميات للمبتدأين الدرس الخامس - حساب المساحات للأشكال الهندسية

حساب المساحات للأشكال الهندسية


المثلث : 


هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة ومجموع طولي أي ضلعين في مثلث أكبر من طول الضلع الثالث (شرط وجود المثلث). والمثلث الذي رؤوسه هي A و B و C يرمز له بالرمز ABC 

أنواع المثلثات


من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:
مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.







                               مثلث متساوي الأضلاع        مثلث متساوي الساقين  مثلث مختلف الأضلاع  

متساوي الأضلاع    
    متساوي الساقين    مختلف الأضلاع


حسب زواياه الداخلية

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:
مثلث قائم الزاوية: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة (زاوية منفرجة).
مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).
 

                    مثلث قائم    مثلث منفرج        مثلث حاد
قائم    منفرج        حاد



مجموع زوايا المثلث



مجموع الزوايا الداخلية للمثلث 180 درجة (الزوايا التي لها نفس اللون متساوية).

مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الزاوية المستقيمة، كما هو مبين بالشكل المجاور.

الزاوية الخارجية للمثلث



الزاوية الخارجية للمثلث

الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين غير المجاورة لها.

في الشكل المجاور يكون قياس الزاوية (ACD) يساوي مجموع قياسي الزاويتين (ABC) و (BAC).

مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة (واحدة لكل رأس) لأي مثلث هو 360 درجة.









مساحة المثلث



المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث و يقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.
لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،
و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث و عرضه ارتفاع المثلث.
حساب مساحة المثلث هندسيا
و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

القانون الأول


المثلث ABC.
يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.
في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.
المثلث ANC مثلث قائم في N:
(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

القانون الثاني


دائرة محيطة بالمثلث
يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.
البرهان:
باستخدام قانون الجيوب:

القانون الثالث


دائرة داخلية في المثلث ABC
يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.
البرهان:
P مركز الدائرة الداخلية للمثلث
باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

القانون الرابع

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:
حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس

القانون السادس

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة : المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]

 محيط المثلث 

محيط المثلث  = مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة 
 فمثلًا لو كانت أطوال الأضلاع على التوالي؛ أ ب ج، فإن محيط المثلث = أ+ب+ج، وتستخدم هذه الصيغة في جميع أنواع المثلثات، 
ولكن بالرغم من بساطة هذه الطريقة، إلا أنه قد يلزم أحيانًا إجراء عدد من العمليات الحسابية لإيجاد محيط المثلث خاصة إذا لم تكن أطوال جميع الأضلاع معروفة
، ويتم استخدام طرق مختلفة تبعًا لنوع المثلث، وأهم هذه الطرق المستخدمة هي الآتية:
 المثلث متساوي الأضلاع: 
في حال كان المثلث متساوي الأضلاع، وكان أحد الأضلاع فقط معروفًا، فإنّ أطوال الأضلاع الباقية هي نفس القيمة، وبالتالي يسهل حساب المحيط في هذه الحالة، فمثلًا لو كان طول أحد الأضلاع 3 سنتيمتر، فإن طول كل من الضلعين الآخرين هو 3 سنتيمتر، وبالتالي فإن محيط المثلث = 3+3+3 ويساوي 9 سنتيمترًا. 
المثلث قائم الزاوية : 
في حالة المثلث القائم، فإن الضلع المقابل للزاوية القائمة هو دائمًا الضلع الأطول ويسمى الوتر، ويتم إيجاد طوله عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس، باستخدام الصيغة الآتية: طول الوتر²=الضلع الأول²+الضلع الثاني²"، وبالتالي إذا كان طول أحد الأضلاع غير معروف فإنه يمكن إيجاد قيمته باستخدام نظرية فيثاغورس ومن ثم جمع أطوال الأضلاع لإيجاد محيط المثلث. 
فمثلًا لو كان طول الضلع الأول = 3 سنتيمتر، وطول الضلع الثاني = 4 سنتيمتر، أولًا يتم إيجاد طول الوتر حيث؛ "طول الوتر²=3²+4²= 25" حيث إنّ طول الوتر يساوي الجذر التربيعي للعدد 25، وهو 5 سنتيمتر، ومنه فإن محيط المثلث = 3+4+5= 12 سنتيمتر.



 المربع 



في الهندسة الرياضية، المربع (بالإنجليزيةSquare)‏ هو رباعي أضلاع منتظم أضلاعه متساوية في الطول ومتعامدة تشكل أربع زوايا قائمة. يمكن تشكيل المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.

وللمربع أهمية كبيرة في عموم المفاهيم الهندسية وعليه يبنى تعريف المساحة لمختلف الوحدات المربعة.



خواص المربع

جميع أضلاع المربع متساوية في الطول.
الضلعان المتقابلان في المربع متوازيان ومتساويان في الطول.
جميع قياسات زوايا المربع متساوية وقائمة، أي أنها تساوي °90 نظرا إلى 360÷4=90.
القطر في المربع يكون من الزاوية إلى الزاوية المقابلة لها وقطرا المربع متعامدان ومتساويان وينصف أحدهما الآخر وينصفان زوايا المربع.
للمربع أربعة محاور تناظر، اثنان منها هما القطران، وإثنين هما المستقيمان الواصلان بين منتصفي كل ضلعين متقابلين.
نقطة التقاء القطرين تشكل مركز تناظر للمربع.

محيط المربع


يعطى محيط المربع بالعلاقة: الضلع × 4.


مساحة المربع 


أما مساحته فتعطى بالعلاقة التالية : طول الضلع × طول الضلع. أو تربيع الضلع ( ل²):


المستطيل 

في الهندسة الأقليدية، المستطيل هو شكل ثنائي الأبعاد، وهو رباعي أضلاع حيث تكون زواياه الأربعة قائمة. ينبع من هذا أنّ للمستطيل زوجين من الضلعين المتقابلين والمتساويين؛ أي أنّ المستطيل هو حالة خاصة من متوازي أضلاع تكون كل زواياه قائمة. كما يعتبر المربع حالة خاصة من المستطيل تكون فيها أطوال الأضلاع الأربعة متساوية.
  مساحة المستطيل 
مساحة المستطيل  تساوي حاصل ضرب طوله في عرضه،
 وبصيغة رياضية تُمَثَّل كما يلي:    مساحة المستطيل=الطول×العرض


 محيط المستطيل
محيط المستطيل=مجموع أطوال أضلاعه 
محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)

متوازى الأضلاع 

متوازي الأضلاع (أو الشبيه بالمعين) (بالإنجليزية: Parallelogram) هو شكل رباعي الأضلاع فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. حيث يكون فيه كل ضلعين متوازيين متساويين بالطول وكل زاويتين متقابلتين متساويتين، وقطراه ينصفان بعضهما.ومجموع زواياه °360المعين
مساحة متوازى الأضلاع
يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع بعدة طرق:

الطريقة الأولى: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول القاعدة والارتفاع، والقانون هو: المساحة = طول القاعدة × الارتفاع
الطريقة الثانية: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم ضلعا متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون هو: المساحة = الضلع الأول×الضلع الثاني×جا (أي زاوية من زوايا متوازي الأضلاع)

الطريقة الثالثة: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول قطري متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون هو: المساحة = 1/2×(القطر الأول×القطر الثاني×جا (الزاوية المحصورة بين القطرين))،   

محيط متوازى الأضلاع
محيط متوازى الأضلاع  = مجموع أطوال أضلاعه الأربعة 

محيط متوازى الأضلاع  = ( القاعدة الكبرى + القاعدة الصغرى ) × 2

المعين 

المُعيّن (بالإنجليزيةRhombus)‏ هو شكل رباعي أضلاع أضلاعه الأربعة ذات أطوال متساوية.أو هو شكل رباعي مكون من مثلثين متساويي الساقين، لهما قاعدة مشتركة، والقاعدة المشتركة محذوفة. يمكن تعريفه على أنه متوازي اضلاع فيه ضلعان متجاوران متساويان


ينقسم المعين إلى نوعين هما :

المعين المنتظم :  وتكون أضلاعه كلها متساوية وزواياه غير قائمة والقطران متعامدان وغير متساويان وينصف كل منهم الآخر .

المعين عير المنتظم : يتكون من مثلثين متساويا الساقين وأضلاعهما مختلفة ومشتركين فى قاعدة واحدة وقطراه متعامدان وغير متساويان وينصف القطر الأكبر القطر الأصغر



مساحة المعين مساحة المعين = 1/2 حاصل ضرب القطرين


محيط المعين 
1- المعين المنظم = طول الضلع × 4
 2- المعين غير المنتظم = مجموع اطوال أضلاعه 
 

  شبه المنحرف    

هو رباعي أضلاع يكون فيه اثنان من الأضلاع المتقابلة متوازيان. ويمكن تعريفه على أنه رباعي أضلاع له فقط ضلعين متقابلين متوازيين، وبذلك يتم استثناء متوازي الأضلاع من التعريف الذي غالباً ما يعتبر حالة خاصة من شبه المنحرف.وإذا كانت إحدى زواياه قائمة يسمى شبه منحرف قائم الزاوية 
شبه منحرف قائم الزاوية

مساحة شبه المنحرف

مساحة شبه المنحرف = 1/2 مجموع طول القاعدتين المتوازيتين  × الأرتفاع العمودى على القاعدة
= طول القاعدة المتوسطة × الأرتفاع العمودى عليها


محيط شبه المنحرف

محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه .

الدائرة


 هى شكل منحنى منتظم يبعد بأبعاد متساوية عن المركز ( م ) وأى بعد من المركز إلى المحيط الخارجى يسمى نصف القطر وتعرف الدائرة بمركزها ونصف قطرها .




مساحة الدائرة

مساحة الدائرة = ط × نق2                        حيث إن  ط =3.14 
=3.14 × نق2


محيط الدائرة محيط الدائرة  = 2 ط نق 
= ط ق 






الكرة 


الكرة أو الفلكة سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها.



في الهندسة الإقليدية ثلاثية الأبعاد تعرف الكرة على أنها المحل الهندسي لمجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه وليكن r من نقطة معينة في الفضاء حيث r عدد موجب (ليس بالضرورة صحيحا دائما) ويسمى نصف القطر. تسمى النقطة المعينة بمركز الكرة. كرة الوحدة هي الكرة التي يكون نصف قطرها يساوي 1.

مساحة الكرة 

مساحة الكرة  = 4 × ط × نق2


مساحة سطح قبة نصف كروية = 1.57 × ق2

القطاع الدائرى


هو  عبارة عن تقاطع قطاع زاوى مركزى مع الدائرة وبداخلها .

مساحة القطاع الدائرى = 1/2 نق2 هـ   ،   لكم هـ  = ل ÷ نق
= 1/2 × نق × ل

حيث  : 
نق = نصف قطر الدائرة 
ل =  طول قوس القطاع الدائرى 
هـ = زاوية القطاع الدائرى بالتقدير الدائرى
حيث هـ = س × ط ÷ 180 ، حيث س هى الزاوية المركزية للقطاع بالتقدير الستينى بالدرجات 

حساب طول القوس الدائرى 

ل = طول القوس الدائرى والمقابل لزاوية مركزية قدرها  هـ O .
ل = نق × هـ

حيث  
نق =  نصف قطر الدائرة التى القوس جزء منها .
هـ  = زاوية القوس المركزية بالتقدير الدائرى 


القطعة الدائرية 

فى الشكل االموضح بالرسم الوتر أ ب يقسم سطح الدائرة إلى قسمين يسمى كل منهما قطعة دائرية إحداهما محصورة بين القوس الأصغر أجـ ب والوتر أ ب وتسمى القطعة الدائرة الصغرى والأخرى المحصورة بين القوس  أ د ب  والوتر أ ب وتسمى القطعة الدائرة الكبرى .
والزاوية التى تقابل القطعة الدائرية عند المركز تسمى الزاوية المركزية للقطعة الدائرية " هـ " وتكون مساحة القطعة الدائرية التى قياس زاويتها المركزية هـ بالتقدير الدائرى وطول نصف قطر دائرتها نق  هو : 

المساحةالجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط

 الهرم

المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحات الأوجه الأربعة 
المساحة الجانبية للوجه ( أ ب جـ )  = مساحة المثلث 
= 1/2 القاعدة × أرتفاع المثلث 

القانون

المساحة الجانبية للهرم = 1/2 × محيط القاعدة × الأرتفاع الجانبى 
المساحة الكلية  = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

الهرم الناقص


المساحة الجانبية  = 1/2 × ( مجموع محيط قاعدتيه ) × الأرتفاع الجانبى 
المساحة الكلية = المساحة الجانبية  +  مساحة قاعدتية 

المخروط 


المساحة الجانبية للمخروط = 1/2 × محيط القاعدة × طول الراسم
=  1/2 × نق × ل 
المساحة الكلية = المساحة الجانبية  + مساحة القاعدة 

المخروط الناقص


المساحة الجانبية للمخروط الناقص = 1/2 ( مجموع محيط القاعدتين × طول الراسم بين القاعدتين ) 
= ط ( نق1 + نق2 ) ×  ل 
المساحة الكلية = المساحة الجانبية +  مساحة القاعدتين 


5F GROUP
كاتب المقالة
Welcome to Profile of F-Group. My name is Alaa eldin Lotfy Mohamed Hassan Quantity Surveyo Mobile: 00965-50035574. E-mail:alotfy771968@yahoo.com working as Quantity surveyor at Altakhses Engineering , BRITISH UNITED company & Al-Muntaha Real Estate Cont. - State of Kuwait. Computer : Experienced with Microsoft Windows XPO /Familiar in of Microsoft Office (Excel, word) /special Programs AutoCAD 2D (for review of Drawing / Micro management. / Performance review / Strategic planning Education :License in law from faculty of law, Ain Shams University.

جديد قسم : خدمات تعليمية

إرسال تعليق